函数与方程小结与复习

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学习要求

1．了解函数的零点与方程根的关系；

2．根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；

     3．体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．

自学评价

1．一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．

2．函数与方程

    两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．

3．二分法求方程的近似解

二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上

方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．

【精典范例】

例1：已知二次函数的图象经过点三点，

（1）求的解析式；

（2）求的零点；

（3）比较，，，与的大小关系．

分析：可设函数解析式为，将已知点的坐标代入方程解方程组求、、．

点评：当二次函数的两个零点都在（或都不在）区间中时，；有且只有一个零点在区间中时，．

例2：利用计算器，求方程的近似解（精确到）．

分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解．

解法一：设，通过观察函数的草图得：

，，

∴方程有一根在内，设为，

∵，∴，

又∵，∴，如此继续下去，得

，

，

∵精确到的近似值都为，所以方程的一个近似值都为，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为．

点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号．

分析二：还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解．

解法二：将原方程写成        ①

取代入等式右边得，再将代入方程①右边，得，……

如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在，∴该方程的近似解为，精确到后为．用同样的方法可以求出方程的另一个近似解为．

点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法．

例3：已知函数的图象与轴在原点的右侧有交点，试确定实数的取值范围．

分析：

追踪训练一

1．函数的图象与轴交点横坐标为    （   ）

）

A.      B.     C.或     D. 

2．已知则方程的解的个数是（     ）

A.      B.      C.    D. 不确定

3．直线与曲线

只有一个公共点，则k的值为（    ）                   

A. 0，        B. 0，  

C.              D. 0，

4．函数与轴交点坐标是          ，方程的根为                   ．

5．已知方程在区间中有且只有一解，则实数的取值范围为             .

6．已知函数过点，则方程的解为             ．

7．求方程的近似解（精确到）．

8．判断方程（其中）在区间内是否有解．

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