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《最小公倍数》教学案例

漯河市郾城区龙城镇栗庄小学

赵胜权

一、案例背景

最小公倍数这部分内容既是“数与代数”领域基础知识的重要组成部分，又是进一步学习通分以分及四则计算的基础。“最小公倍数”则是一个内涵比较丰富的数学概念。

五年级学生的生活经验和知识背景更为丰富，课标要求教材选择具有现实性和趣味性的素材，采取螺旋上升的方式，由浅入深地促使学生在探索与交流中建立公倍数与最小公倍数的概念。该内容是在学生已经学习了“因数和倍数的意义”、“质数和合数”、“最大公因数”等的基础上进行教学的，既是对前面知识的综合运用，同时又是学生学习“通分”所必不可少的知识基础。因而是本单元的教学重点，是本册教材的核心内容。本课的教学，对于学生的后续学习和发展，具有举足轻重的作用。借鉴前面的学习方法学习后面的内容是本课设计中很重要的一个教学特色，这样设计不仅使教学变得轻松，而且能使学生在学习知识的同时掌握一些学习方法，这些学习策略和方法的掌握，对于今后的学习是很有帮助的。这一内容的学习也为今后的通分、约分学习打下的基础，具有科学的、严密的逻辑性。根据以上对教材的分析，我确立我以下的教学目标：

1.初步建立公倍数和最小公倍数的概念，会在集合中分别表示两个数的倍数和他们的公倍数。

2.使学生学会用列举的方法找到10以内两个数的公倍数和最小公倍数；并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，进行有条例的思考。

3.使学生在自主探索与合作交流的过程中，进一步发展与同伴进行合作交流的意识和能力，获得成功的体验。

二、案例主题

为了帮助学生真正理解概念的涵义，教学中我们必须让学生亲身经历概念的形成过程，这样才有可能形成有意义的学习。怎样让学生经历“最小公倍数”概念的形成过程，教学中却很有讲究。

过去我们通常所采用的法，让学生通过“找倍数---找公倍数---找公倍数中最小的一个”，在“纯数学”的范畴内经历概念的形成过程（课本上的例题也是这样编写的）。这样的教学虽然突出了数学知识的内部联系，并能帮助学生在较短的时间内掌握需要学习的知识，能够“省下”较多的时间完成练习或学习更多的知识，但其不足之处也显而易见。比如，在这一过程中，学生无法体会到数学与外部生活世界的密切联系，无法充分利用已有的生活经验来帮助学习数学知识；形式化的、缺乏实际意义的学习任务也往往很难真正引起学生的学习兴趣学生的学习活动常是在老师的“命令”下被动地进行，等等。

为此，在本堂课的教学中，我试图另辟蹊径，探索一条教学新路。通过对教材内容做适当的加工改造，使课堂里的数学能够以一种充满了数学的内部联系（数学知识间的联系）和外部联系（数学与生活的联系）的整体面貌呈现在学生的面前，从而构建一种生活化的数学课堂。具体地说，就是先将数学“退回生活”，从学生的现实生活世界中寻找一些能够“自动地”反映公倍数、最小公倍数内部结构特征的实际问题，让学生通过解决这些生动具体的实际问题，获得对公倍数、最小公倍数概念内部结构特征的直接体验，积累数学活动的经验；在此基础上，再引导学生从生活“进到数学”，通过对实际问题的反思抽象，引出公倍数、最小公倍数等数学概念，并通过对解决问题过程的进一步提炼，总结出求最小公倍数的方法。这样，学生获取知识的过程被“拉长”了，花的时间可能也要稍多一些，但是，这一过程中，学生的学习积极性和主动性被充分地调动了起来，当他们面对那些生动有趣的实际问题时，会自觉地调动起已有的生活经验和那些“自己的”思维方式参与解决问题的过程中来，主动地借助各种外部的物质材料来展示自己内部的思维过程；通经历这一过程，学生能获得对数学知识更深刻的理解。同时，在这一过程中，学生不仅能清楚地体会到数学的内部联系，而且能真切地体会到数学与外部生活世界的联系，体会到数学的特点和价值，体会到“数学化”的真正含义，从而帮助他们获得对数学的正确认识。

构建生活化的数学课堂就是要让学生在“生活”和“数学”的交替中体验数学，在“退”和“进”的互动中理解数学。通过“退回生活”，为数学习提供现实素材，积累直接经验；再通过“进到数学”，把生活常识、活动经验提炼上升为数学知识。

三、案例方案

本节课以“问题解决”的思想为基本理念设计课堂教学，以讲故事的形式提出问题，为学生提供了一个“公倍数”的实体模型，让学生借助“日期”这一具有实际意义的“数”，初步感知公倍数、最小公倍数的特点，体会求最小公倍数的基本思路。在解决问题的过程中，注意先让学生独立思考，初步感受问题的挑战性，产生与人合作的需要，教师再不失时机地提出建议，引导学生通过有序思考和分工合作解决问题。通过解决实际问题，为下面“正式”学习公倍数、最小公倍数提供了现实素材，积累了直接经验。

通过引导学生把“日期”看成“数”，逐步抽象出4和6的公倍数和最小公倍数，有利于学生借助生活经验理解公倍数、最小公倍数的意义，形成概念的初步表象；再通过进一步用集合图表示，帮助学生加深对公倍数、最小公倍数意义的理解，使表象更加清晰。在此，通过引导学生对具体问题作进一步研究并根据研究结果修改板书，让学生亲身经历了一个从具体到抽象的数学化的过程。通过这一过程，不仅能帮助学生借助生活经验理解数学知识，同时也能让学生感受到数学与生活的联系，体会到数学源于生活又高于生活的特点。

让学生通过解决故事中的实际问题，对公倍数、最小公倍数的本质特点及其求法有了直接的体验以后，及时引导学生进行反思和总结，把解决问题过程中获得的经验和体验提炼上升为数学知识。在提炼过程中注意先让学生用自己的话来表达，再启发学生相互补充和修正，并在老师的引导下使之进一步系统化、条理化，逐步归纳出概念的定义和求最小公倍数的方法。

通过解决生活中的问题，一方面进一步激发学生的学习兴趣，进一步体会和认识公倍数、最小公倍数的内部结构特征，帮助学生从不同的角度建立概念的表象。同时，随着生活中王老师生活中的一天进一步展开，把公倍数、最小公倍数的概念从两个数的情况拓展为三个数的情况，从而帮助学生进一步深化对公倍数、最小公倍数概念的理解。

最后引导学生阅读“韩信点兵，多多益善”这一典故，让学生拓展数学文化知识，同时用数学的眼光看待问题，再进一步应用所学知识去解释典故中的数学问题，激发学生学习数学、应用数学的意识和兴趣。

四、案例实施

（一）创设生活情境

师:同学们,你们喜欢阿凡提吗?为什么喜欢他?

生：因为阿凡提聪明、机智。

生：阿凡提幽默、风趣，又爱帮助穷人。

师:今天老师也给你们带来一个阿凡提的故事，下面一起来看一看。

课件出示：从前有个长工,在巴依老爷家干了一年也没有拿到一个铜板。长工们于是自发地组织了起来并邀请阿凡提帮他们去向巴依老爷讨工资。巴依老爷含着烟斗冷笑着说:“工资我可以给你,不过我的钱都在我的账房先生那里。从七月一日起,我要连续出去收账3天才休息一天,我的账房先生要连续收账5天才可以休息一天,你们就在我们两人同时休息的时候来吧。我肯定给钱。”阿凡提动了动脑筋,便带长工们离开了。到了某天,他真的从巴依老爷家帮长工拿到了工钱。

师：请大家想一想,阿凡提是哪天去巴依老爷家的?他用的是什么办法找到这个日期的?你准备如何解决这个问题?

(学生独立思考,整理解决问题的思路,并在四人小组里交流、讨论。)

全班汇报,交流想法。同学们达成共识:要先分别找出巴依老爷、账房先生的休息日、再找出他们两人的共同休息日。

师： 看来怎样找出这些日子，得讲究一些方法。老师给你们提个建议，同桌两位同学可以通过分工合作来解决这个问题。一位同学找巴依老爷的休息日，另一位同学找账房先生的休息日，然后再把两人找的结果合起来对照一下，这样就可以比较快地找出两人的共同休息日了。

同桌两人合作,通过在日历上圈一圈、本子上写一写等方式,寻求解决的办法。师巡视,并重点引导学生辨析休息日的日期应是4和6的公倍数,而不是3和5的公倍数。

全班交流,汇报。师板书:

巴依老爷的休息日:4、8、12、16、20、24、28

账房先生的休息日:6、12、18、24、30

他们八月份的共同休息日:12、24

这些数据说明了什么?如果阿凡提8日这天去巴依老爷家行吗?那18日这天去巴依老爷家行吗?引导学生明确阿凡提要把事情办好,只有在巴依老爷和账房先生都在家休息的日子去才行。所以阿凡提可以在12日和24日这两天去找巴依老爷和账房先生。

你们猜猜阿凡提会哪一天去巴依老爷家呢?

师板书:最早的共同休息日:12

（二）建立数学模型

师:你们真聪明,用自己的智慧解决了问题。现在我们一起用数学的眼光,来看看巴依老爷和账房先生的休息日的数据有什么特点?先看巴依老爷的休息日，把这些数读一读（学生读数），你发现这些数有些什么特点？

生：这些数都是4的倍数。

师：对了，这些数都是4的倍数。（教师顺势把板书中“巴依老爷的休息日”改成了“4的倍数”。）

师：刚才，我们是在31以内的数中，依次找出了这些4的倍数，如果继续找下去，4的倍数还有吗？有多少个？

生：4的倍数还有32、36、40等等，有无数个。

（教师在4的倍数后面添上了省略号。）

师：再来看账房先生的休息日 ，你发现这些数有些什么特点？

生：这些数都是6的倍数

师：对了，这些数都是6的倍数。（教师顺势把板书中“账房先生的休息日”改成了“6的倍数”。）

师：如果继续找下去，6的倍数还有吗？有多少个？（学生举例，教师在6的倍数后面添上了省略号。）

生：6的倍数还有36、42、48等等，有无数个。

（教师在6的倍数后面添上了省略号。）

师：下面我们再来看“他们共同休息日”，这些数和4、6有什么关系？

生：这些数既是4的倍数，又是6的倍数，

师：对了，这些数既是4的倍数，又是6的倍数，是4和6公有的倍数，我们就把它叫做4和6的公倍数。（把板书中“他们共同休息日”改为“4和6的公倍数”。）

师：刚才我们从31以内的数中找出了4和6的公倍数有12、24，如果继续找下去，你还能找出一些来吗？可以找多少？

生：4和6的公倍数还有36、48、60等等，有无数个。

（根据学生回答，在后面添上省略号。）

师：这“最早的共同休息日”，就是4和6的公倍数中最小的一个，我们一起给它起个名字，叫什么呢？

学生齐答：4和6的最小公倍数

（根据学生回答，引出最小公倍数，并把板书中“最早的共同休息日”改为“4和6的最小公倍数”。）

板书：

4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、……

6的倍数：6、12、18、24、30、……

4和6的公倍数：12、24、……

4和6的最小公倍数：12

师：回头看看刚才我们怎么找出4和6的公倍数和最小公倍数的？

生：我们用的是一一列举的方法。

师：请同学们仔细看看4和6的公倍数，你有什么发现吗？

生：4和6的公倍数分别是12的倍数。

师：4和6的公倍数和最小公倍数有关系吗？ 

生：4和6的公倍数全部都是最小公倍数的倍数

师：我们还可以画图表示4的倍数、6的倍数以及4和6的公倍数之间的关系。

（动画课件出示）

师：同学们看，我们常常画一个圈，让4的倍数都在这个圈里集合，再让6的倍数都在另一个圈里集合，这样表示简单明了.通过这两个集合圈，你能看出什么呢？

生：4的倍数和6的倍数。

师：哪个信息比较不容易看清呢？

生：4和6的公倍数以及最小公倍数不容易看清。

师：为了解决这个问题，十九世纪英国著名的数学家韦恩想出了一个好办法：把两个集合圈合起来（课件演示集合图的形成过程），同学们看，中间的重合部分表示什么呢？

生：中间的重合部分表示两个数的公倍数

师：两个数的公倍数还有吗？（用省略号表示）。左边的数表示什么？右边的数表示什么？

生：左边的数表示4的倍数，右边的数表示6的倍数。

师：12能填在左边吗？能填在右边吗？为什么？（不重不漏？）

生：12不能填在左边，也不能填在右边，为的是不重不漏。

师：从图中还可以看出，4和6的最小公倍数是多少？

生：从图中还可以看出4和6的最小公倍数是12

师：用这个图表示4和6的公倍数，你们感觉怎么样？

生：用这个图表示4和6的公倍数，我感觉很形象，有很简洁。

师：这个图叫做韦恩图，在数学上用途可大了。希望同学们长大后，也能像韦恩一样，勤于思考，有更多的发现和创造。

（三）解释与应用

师：在生活中，公倍数和最小公倍数还有很多用处，下面我们看看王老师生活中的一天：

1.王老师每天早上和女儿一起围绕操场跑步，王老师跑一圈要3分钟，女儿跑一圈要4分钟，如果王老师和女儿同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？

2.王老师每天上班要坐公交车，6路公交车每隔8分钟发一次车，9路公交车每隔6分钟发一次车，这两路公交车同时发车以后，至少再过多少分钟两路车才第二次同时发车？

3. 王老师和女儿到校后一起上楼，王老师每次上3层台阶，女儿每次上2层台阶，

她们同时从一楼上，至少在第几层台阶两人同时迈上？

4.数学课上，王老师给学生们准备了一些长3厘米，宽2厘米的长方形，用这样长方形纸片铺一个正方形，正方形的边长最小是多少厘米？

5.课外活动时间王老师带领全班同学一起做游戏,全班人数在30到50人之间,如果分成8人一组, 6人一组,4人一组,都恰好分完,五年级参加游戏的学生有多少人?

小组合作，挑选你最感兴趣的一道题完成。看哪组完成的又多又对。

全班交流。

（四）反馈与提高      

“韩信点兵，多多益善”

我国汉代有一位大将，名叫韩信。汉高祖刘邦问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信看了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中不高兴，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”

这个成语里面还藏着一个很有意思的数学方法呢，想知道吗？

韩信每次集合部队，都要求士兵隔墙站队，站三次，第一次每排站3人，第二次每排站5人，第三次每排站7人，每次站完后都要求最后一排报告有几人，这样韩信就知道一共到了多少人。挺神奇的吧！

韩信不但能带兵打仗，他还特别有数学头脑，请看——出示课件：每3人站成一排，最后一排只有1人；每5人站成一排，最后一排也只有1人；每7人站成一排，最后一排还是1人。你能推算出最少有多少人吗？

师：如果你是韩信大将军的话，你能算出最少有多少人吗？请同学们，开动脑筋，做一个数学智力大将军。

生：每3人站成一排，最后一排只有1人，也就是3的倍数多一人；每5人站成一排，最后一排也只有1人，也就是5的倍数多一人；每7人站成一排，最后一排还是1人，也就是7的倍数多一人。算出最少有多少人在这里就是求3、5、7的最小公倍数再多一人。