发布者： 苏鹏 发布时间：2022-06-15 浏览数( -) 【置顶】 【推荐】 【举报】
函数值域的14种方法大盘点题型1 观察法
方法 | 通过观察如 |
步骤 | 第1步：观察函数中的特殊函数； 第2步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. |
例题1 函数 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【解析】第一步，观察函数中的特殊函数
第二步，利用二次函数的最值和不等式得到函数的值域：
，所以的最大值是，选D.
变式1 函数的值域为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】，故，∴值域为，选D。
【小结】算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
变式2 求函数的值域.
【解析】∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜2．
故函数的值域是
题型2 单调性法
方法 | 单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． |
步骤 | 第1步：确定函数的定义域； 第2步：求出函数的单调区间； 第3步：确定函数的值域或最值. |
例题2 求函数的值域。
【解析】，，∴都是增函数，故是减函数，因此当时，，又∵，∴。
变式1 求函数的值域.
【解析】第1步，将函数化成基本初等函数的形式：
令，所以
第2步，讨论函数的单调性：
因为；
所以在上是减函数，在上是增函数；
第3步，讨论函数的单调性：
又因为在定义域上是减函数；
所以在上是增函数，在上是减函数；
第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：
所以，，所以函数的值域为。
【小结】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.
变式2 求函数的值域
【解析】第1步，将函数化成基本初等函数的形式：
令，所以
第2步，讨论函数的单调性：
因为；
所以在上是增函数，在上是减函数；
第3步，讨论函数的单调性：
又因为在定义域上是减函数；
所以在上是减函数，在上是增函数；
第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：
所以，所以函数的值域为。
【小结】
（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.
（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.
（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性.
变式3 求函数的值域.
【解析】由，解得，在此定义域内函数是单调递减，所以当时，函数取得最小值，，所以函数的值域是
变式4 函数f（x）=2+log3x（1≤x≤9），函数g（x）=f2（x）+f（x2），求g（x）值域．
【解析】由已知函数f（x）的定义域为x∈{x|1≤x≤9}，则g（x）的定义域满足，
所以1≤x≤3，所以g（x）的定义域为{x||1≤x≤3}；
，g（x）在x∈[1，3]单调递增，
则g（x）的最大值为g（x）max=g（3）=13，g（x）的最小值为g（x）min=g（1）=6．
故g（x）的值域为[6，13]．
变式5 已知，且满足，则函数的值域为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】∵，则原式与同解，解之得，
又，将代入中，得且，
函数在区间上连续且单调递增，故只需比较边界的大小，
当时，；当时，，∴函数的值域为，选A
变式6 函数对于任意实数、都有，且当时，，，求函数在区间上的值域。
【解析】设，∵当时，,∴，
。∴
∴为增函数
令
令
∴为奇函数，∴
∴在区间上的值域为[-4,2]
【小结】抽象函数值域的求法。
题型3 奇偶性法
方法 | 适用于一些解析式非常复杂，但是经过整理后有一定规律的函数，或是抽象函数；在求函数最值的问题中，可以利用奇偶性直接得出答案； |
步骤 | 第1步：凑出奇或偶的代数式 第2步：根据奇偶性性质解题 |
例题3 若都是奇函数，在上有最大值5，则在上有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
【解析】、为奇函数，∴为奇函数．
又有最大值5， ∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．
∴－2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1，选C
变式1 设函数的最大值为，最小值为，则_____.
【解析】2
变式2 设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
【解析】显然函数f(x)的定义域为R,f(x)==1+,
设g(x)=,则g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数,
由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,
∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.
变式3 已知函数和均为奇函数， 在区间上有最大值5，那么在上的最小值为 （ ）
A. －5 B. －3 C. －1 D. 5
【解析】令，所以为奇函数，
时，，，又时，，，，故选C.
【小结】本题主要考查函数的奇偶性的应用，由于函数和 g(x)均为奇函数，则也为奇函数，构造函数,则为奇函数，借助在上的最大值得出的最大值，由于奇函数的图象关于原点对称，所以在关于原点对称的单调区间上的最大值与最小值之和为零，得出在上的最小值，进而得出在上的最小值.
变式4 已知在区间上有最大值5，那么在上的最小值为
【解析】因为中为奇函数关于对称,
故关于对称,又在区间上有最大值5,
故在上的最小值为
变式5 已知函数和均为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上的最小值为
【解析】∵和均为奇函数，∴，∴在上的最小值是，故选B．
变式6 已知函数和均为奇函数, 在区间上有最大值,那么在上的最小值为
【解析】由得，
令，
则，∴为奇函数．
∵在区间(0,+∞)上有最大值5，
∴，∴，即．
∵是奇函数，∴，∴．故选B
变式7 函数x最大值为Ｍ，最小值为ｍ，Ｍ＋ｍ＝____
【解析】,为奇函数，∴图象关于点对称， 最大值对应点与最小值对应点关于点对称，∴，即Ｍ＋ｍ＝2
题型4 配方法
方法 | 型如 |
步骤 | 第1步：配方； 第2步：借助图像或利用二次函数的顶点坐标公式，确定函数的最值或边界点的函数值； 第3步：结合二次函数的图像与性质，求得值域. |
小结 | 若二次函数图像的顶点在定义域对应的区间内，则顶点的纵坐标一定是函数的一个最值，此外,若定义域为开区间，则函数可能没有最值. |
例题4 当1≤x≤2时，求函数y＝﹣x2﹣x+1值域．
【分析】由二次函数性质知f（x）当1≤x≤2时，函数y单调递减，结合二次函数的性质可求.
【解析】，对称轴为，
故当1≤x≤2时，函数y单调递减，
ymax＝﹣1﹣1+1＝﹣1，ymin＝﹣4﹣2+1＝﹣5，
故函数y＝﹣x2﹣x+1值域为[﹣5，﹣1]．
变式1 已知函数，求函数的值域．
【分析】本题采用配方法求值域．
【解析】y＝[f（x）]＝f2（x）﹣4f（x）+1
＝[f（x）﹣2]2﹣3
＝（x2﹣4x+1﹣2）2﹣3
＝（x2﹣4x﹣1）2﹣3
＝[（x﹣2）2﹣3]2﹣3≥﹣3
∴函数的值域为[﹣3，+∞）
变式2 求函数在，的值域．
【分析】因不知道a是否为0，所以分a＝0和a≠0两种情况讨论，又因对称轴把区间分成两部分，再分别求出值域取并集．
【解析】分a＝0和a≠0两种情况讨论，
①当a＝0时，f（x）＝1，
②当a≠0时，f（x）＝a2x2﹣2a2x+1＝a2（x﹣1）2+1﹣a2，
对称轴x＝1把区间[﹣1，2]分成[﹣1，1]，（1，2]两部分，
在[﹣1，1]上函数f（x）是减函数，
∴f（﹣1）最大为（3a2+1），f（1）最小为（1﹣a2），
在（1，2]上函数f（x）是增函数，f（2）最大，而f（2）＜f（﹣1），
综上所述，函数f（x）＝a2x2﹣2a2x+1在[﹣1，2]的值域为：[1﹣a2，3a2+1]．
变式3 定义在上的函数的值域是__________．
【解析】第一步，将函数配方成：
由
+10+241
第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：
因为,
所以1
即函数的值域是
变式4 函数的定义域是，值域为，求的范围
【解析】因二次函数的对称轴为,且时,函数值,当
时,,因此当时, .故当
变式5 函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x，当x∈[1，4]时，求h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)值域
【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2]
变式6 已知－1≤x≤2，求函数y＝f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域．
【解析】f(x)＝3＋2·3x+1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3.
令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.
∵－1≤x≤2，∴ 1/3 ≤t≤9.
∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；
当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，
即f(x)的最大值为12，最小值为－24.∴函数f(x)的值域为[－24,12]．
变式7 已知x∈[－，]，求求函数y＝－3（1-cos2x）－4cosx＋4的值域．
【分析】将函数化简为，然后设，并且根据上一问得到的范围，写成关于的二次函数，根据二次函数求函数的最值．
【解析】原函数化为y＝3cos2x－4cosx＋1，即，
设，，
当时函数取得最小值，当时，函数取得最大值．
故y的值域为[－，]．
变式8 已知函数．
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设（为实数），求在时的最大值；
（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围．
【解析】由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为
又由≥0 得值域为
（2）因为
令，则
∴()+t=
由题意知g(a)即为函数的最大值
注意到直线是抛物线的对称轴
因为a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段
①若，即则
②若，即则
③若，即则
综上有
（3）易得，由对恒成立，
即要使恒成立，
，令，对所有的成立，
只需 求出m的取值范围是
题型5 分离常数法
方法 | 1、型如 2、型如 |
步骤 | 第1步：将函数关系式分子中含x的项分离，即使分子不含x项； 第2步：确定分离后的函数关系式的单调性； 第3步：借助函数的单调性，求的函数的值域. |
小结 | 若分离较为困难，则可将分子或分母设为一个整体，用一个字母代替及换元再分离常数. |
例题5 （1）求函数的值域．
（2）已知函数，求的值域．
（1）【分析】本题宜用分离常数法求值域，将函数可以变为再由
函数的单调性求值域．
【解析】由题函数的定义域为
故函数的值域为
（2）【分析】，化简后求值域．
【解析】，
又，，即．
则的值域为．
变式1 （1）求下列函数的值域：.
（2）求函数的值域．
（1）【分析】利用分离变量法求解．
【解析】y2，
∵x≥1，2＜22，
∴y（x≥1）的值域为（2，]．
（2）【分析】对函数化简成y（1）的形式，根据函数的性质求得函数y的范围．
【解析】y•（1），
∵0，∴y，即函数的值域为（﹣∞，）∪（，+∞）．
变式2 （1）求下列函数的值域：．
（2）求函数的值域．
（1）【分析】利用分离常数法，可将原函数的答案式化为y，进而根据0，可得y，进而得到函数的值域．
【解析】∵y，
∵0，故y，
故函数y的值域为：{y|y}，
（2）【分析】用分离常数法化简函数式为y＝5，考虑分母不为0，即求出函数值域．
【解析】∵y＝5，
又x2﹣1≠0，即x≠±1，∴y≠5且y；
∴函数的值域是{y|y≠5且y}．
变式3 （1）求函数的值域．
（2）求函数的值域．
（1）【分析】本题考查二次了二次函数答案式的配方，求值域，分离常法求函数的值域．
【解析】，