1.2.1任意角的三角函数

       武穴理工中专   郑治国

1

锐角三角函数的定义：

x

y

o

r

P(x,y)

M

α

2

问：比值               是否因为P(x,y)点在

终边上的位置发生变化而变化？

3

任意角的三角函数定义：

    如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆（在直角坐标系中，称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆）交于点P(x,y)，那么：

（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即                    sinα=y；

（2）x叫做α的余弦，

记作cosα，即                    cosα=x；

（3）  叫做α的正切，记作tanα，即                       tanα=   (x≠0)。

4

例1、求      的正弦、余弦和正切值。

例2、已知角α的终边经过点P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。

 

5

练习：已知角α的终边经过点p(2，－3)，求角α的正弦、余弦和正切值。

三角函数	定义域
sinα	R
cosα	R
tanα	{α|α≠            ,kÎZ}

 

正弦、余弦、正切函数值在各个象限的符号？

6

三角函数值的符号问题

7

正弦值y对于第一、二象限的角是正的，对于第三、四象限的角是负的。

余弦值x 对于第一、四象限的角是正的，对于第二、三象限的角是负的。

正切值     对于第一、三象限的角是正的，

对于第二、四象限的角是负的。

8

三角函数全为正

正弦为正

正切为正

余弦为正

Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦

三角函数值的符号问题

意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余              　　　　　　　割为正,其余均为负
　　　第三象限正切、余切为正，其余为负，第四象限余弦及与之相关                  的正割为正，其余皆为负。

9

例   确定下列各三角函数值的符号：

    (1)                   (2)cos1300 ；  (3)

    

(2) ∵1300∈Ⅱ

∴ cos1300 <0

       (3)                Ⅱ

10

例、 求证:当且仅当下列不等式组成立时，角θ

为第三象限角.

11

终边相同的角的同一三角函数值相等。

　公式一：

    sin(α ＋ k·2π )＝sinα　

  cos(α ＋ k·2π )＝cosα

   tan(α ＋ k·2π)＝tanα

(k∈Z)

12

2　α ＋ k·2π， k∈Z表示任意

　　与 α终边相同的角。

3　此公式表明求任意角的三角函数

　值的问题，可以转化为求0°～360°

　(0～2π)间角的三角函数值的问题。

1　运用公式时， k∈Z不能省略！

说明：

13

２、求下列三角函数值：

14

下列各式为正号的是（  ）

   A cos2-sin2     B cos2sin2

   C tan2sec2     D sin2tan2

C

2 若lg(sintan)有意义，则是（   ）

  A 第一象限角                 B  第四象限角

  C 第一象限角或第四象限角

  D  第一或第四象限角或x轴的正半轴

C

3 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos0,

   sin>0,则a的取值范围是                 。

-2<a3

15

例3  若是是第二象限角,

       且|cos(/2)|=- cos(/2),

       问/2是第几象限角？

练习  已知是第三象限角，且sin(/2)<0，

         则(     )

        A cos(/2)<0     B cos(/2)>0

        C tan(/2)>0      D cot(/2)>0

B

16